Задачи на графы

1. Пример 1. Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Решение

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с  учетом задачи имеем граф (1).

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф (2) дающий решение задачи.

 (1)  (2)

2. Пример 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей

По одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено? 

 Решение

I способ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г  показан процесс  обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше,  чем ребер, т. е. 6*2 = 12.  Столько же было подарено и фотографий.

II способ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.

О т в е т: 12 фотографий

Логические задачи

1. Тамара спросила Сашу: «Сколько тебе лет?» Саша ответил: «Если число моих лет увеличить в 3 раза, а потом уменьшить на 16, то мне было бы 17 лет». Сколько лет Саше?

2. Веселый клоун Нибумбум

Сегодня мрачен и угрюм.

Что огорчает Нибумбума?

Пример решал он восемь раз –

И каждый раз другая сумма!

Печальный случай! А у вас?

При решении не забудь, что одинаковые буквы – одинаковые цифры!

К О Ш К А

+ К О Ш К А

К О Ш К А

С О Б А К А

3. Двое учеников очистили 400 картофелин: один очищал 3 штуки в минуту, другой – 2. Второй работал на 25 мин больше первого. Сколько времени работал каждый?

4. Расставь знаки и скобки так, чтобы получились равные равенства:

А). 9 9 9 = 2

Б). 9 9 9 = 10

В). 9 9 9 = 90

Г). 9 9 9 = 9

5. Расставь скобки так, чтобы получились верные равенства

А). 12 · 16 + 128 : 8 + 24 = 240

Б). 12 · 16 + 128 : 8 + 24 = 196

6. Запиши число 7 при помощи четырех троек и знаков действий. Найди несколько решений. (7 = 3:3 + 3+3, 7 = 3+3+3:3, 7 =3+3:3+3)

7. Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство 211 – 126 – 74·8 = 88

8. Записать все восьмизначные числа, сумма цифр каждого из которых равна 2.

9. Степа Смекалкин задумал число. Потом он уменьшил это число на 19 и к произведению прибавил 19. В ответе у него тоже получилось 19. Какое число задумал Степа?

10. Если самое большое трехзначное число уменьшить на самое большое двузначное число, полученный результат разделить на 4 , а затем вычесть 25, то получится возраст мудреца-звездочета. Сколько лет звездочету?

11. Лесной царь отвел зверятам по огороды участки прямоугольной формы, сумма длин которых равна 16 м. Какой площади участок получил каждый из зверят, если все они разные и длины сторон участков выражаются целыми числами метров? Какой формы участок, площадь которого наибольшая?

12. Длина прямоугольного бассейна в 5 раз больше его ширины, причем ширина на 20 м меньше. Найдите площадь дна бассейна.

13. Начерти квадрат периметром 12 см. Затем дополни его до прямоугольника периметром 16 см. Вычисли стороны прямоугольника.

14. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть танцевала, шестую – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

15. Три брата поймали 29 карасей. Когда один брат отложил для ухи 6 штук, другой -2, а третий – 3, то у каждого осталось равное количество рыб. Сколько карасей поймал каждый из них?

Решение: 6+2+3=11 (к) - ушло на уху

29-11=18 (к) - осталось всего

18:3=6 (к) - осталось у каждого брата

6+6=12 (к) – было у первого брата

6+2=8 (к) - было у второго брата

6+3=9 (к) – было у третьего брата

16. Решив позавтракать, Витя и Миша сосчитали сосчитали деньги. У Вити было 25 руб, а у Миши 35 руб. На все деньги они купили печенье. Тут к ним подошел Володя и попросил принять его в компанию. Мальчики разделили все печенье на троих поровну, и каждый съел свою долю. Володя, не желая оставаться в долгу у товарищей, отдал им 20 руб. Сколько из них он отдал Вите и сколько Мише, чтобы никого не обидеть?

17. Иванов, Петров, Сидоров и Козлов за контрольную работу получили оценки: «2», «3». «4», «5». Известно, что Петров списал у Сидорова, но сделал это не внимательно. Иванов не справился ни с с одним из заданий. Лучше всех решил Козлов. Какую оценку получил каждый ученик?

Задачи на переливание

1. В один сосуд входи 3 л, а в другой – 5 л. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 л воды из водопроводного крана?

2. Как с помощью пятилитрового бидона и трехлитровой банки набрать из реки ровно 4 л воды?

3. Как набрать из водопровода 6 л воды, пользуюсь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5 л?