Данная темаОдна из важнейших тем Алгебры. Изучается она, в основном, в 5—6 классах школы и в дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же время на эту тему существует Значительное количество самых разнообразных задач, Которые часто встречаются на олимпиадах, при поступлении в физико-математические школы и институты. Школьники (и даже старших классов), как правило, большинство задач этой темы, к сожалению, решить не могут. Поэтому остановимся на этом разделе Достаточно подробно И рассмотрим те задачи, которые по силам учащимся 8-х классов.

Цели: Напомнить основные сведения о множестве натуральных чисел и рассмотреть типичные задачи по теме.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Числа, которые используются Для счета предметов, Называются Натуральными: 1, 2, 3, 4, ... Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак Е. Например, утверждение, что число 5 является натуральным (или что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел УУ), можно записать так: 5 е N. Число 2,3 не является натуральным. Это можно записать с помощью знака ё, т. е. 2,3 ? N.

Все натуральные числа (исключая число 1) разделяются на Простые Числа и Составные Числа.

Число называется Составным, Если оно имеет хотя бы один Делитель, Который Не равен самому числу или единице. Например, число 18 имеет такие делители: 2, 3, 6, 9. Поэтому число 18 является составным. (Разумеется, кроме перечисленных делителей у числа 18 есть еще два делителя: 1 и 18).

Число называется Простым, Если оно Не имеет других делителей кроме Самого себя и единицы (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...).

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Напомним Основные признаки делимости Натуральных чисел.

1. Число делится (без остатка или нацело) На число 2, Если Его последняя Цифра четная или 0. (Напомним, что число 0 не является ни четным, ни нечетным). Например, число 35 634 делится на 2, а число 35 635 — не делится.

2. Ч исл о делится На Число 3, если Сумма его цифр делится На 3. Например, число 33 606 делится на 3, т. к. сумма цифр этого числа 3 + 3 + 6 + 0 + 6= 18

Делится на 3. Число 32 606 имеет сумму цифр 3 + 2 + 6 + 0 + 6= 17, которая на 3 не делится. Поэтому число 32 606 также на 3 не делится.

3. Число делится На число 4, Если Две его последние цифры образуют число, Которое делится на 4, или являются нулями. Например, число 35 Щ делится

на 4, т. к. число, образованное двумя последними цифрами (число 12),

делится на 4.

Обратите внимание на этот признак делимости. Оченьчасто школьники ошибочно «сокращают» этот признак делимости до такого: число делится на число 4, если две его последние цифры делятся на 4. Разумеется, данный «признак делимости» является грубой ошибкой. В рассмотренном примере число 35112 делилось на 4, хотя ни одна из его двух последних цифр (1 и 2) на 4 не делится.

Число 35 Щ на число 4 не делится, т. к. число 18 (образованное двумя последними цифрами) на 4 не делится.

4. Число делится На число 5, если Его последняя цифра 0 или 5. Например, числа 35 110 и 35 115 делятся на 5, а число 37 513 на 5 не делится.

5. Число делится На число 8, Если Три его последние цифры образуют число, Которое делится на 8, или являются нулями. Например, число 37 408 делится на 8, т. к. число 408 делится на 8. Число 37 4J4 не делится на 8, т. к. число 414 не делится на 8.

6. Число делится На число 9, Если Сумма его цифр Делится На 9. Например, число 71 505 делится на 9, т. к. сумма цифр этого числа 7+ 1 +5 + 0 + 5= 18 делится на 9. Число 70 505 имеет сумму цифр 7 + 0 + 5 + 0 + 5= 17, которая на 9 не делится. Следовательно, и само число не делится на 9.

7. Число делится На число 10, Если его Последняя цифра нуль. Например, число 37 510 делится на 10, а число 37 515 не делится на 10.

Признаки делимости позволяют решать и более сложные задачи.

Пример 1

Определите: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится без остатка число 357 120.

А) Число делится на 2, т. к. его последняя цифра нуль.

Б) Число делится на 3, т. к. сумма цифр данного числа равна 3 + 5 + 7 +

+ 1 +2 + 0- 18 и делится на 3.

В) Число делится на 4, т. к. две его последние цифры образуют число 20,

которое делится на 4.

Г) Число делится на 5, т. к. его последняя цифра нуль.

Д) Число делится на 6, т. к. 6 = 2 • 3 и из пунктов а, б следует, что число

делится на 2 и 3 одновременно.

Е) Число делится на 8, т. к. три его последние цифры образуют число

120, которое делится на 8.

Ж) Число делится на 9, т. к. сумма его цифр 18 (пункт б) делится на 9.

З) Число делится на 10, т. к. его последняя цифра нуль.

И) Число делится на 15, т. к. оно одновременно делится на 3 и 5 (пункты б, г).

К) Число делится на 18, т. к. из пунктов а, ж следует, что оно делится на 2 и 9.

 

Л) Число делится на 20, т. к. оно одновременно делится на 4 и 5 (пункты в, г).

Заметим, что при рассмотрении делимости числа 357 120 на 6, 15,18,20 мы каждое из этих чисел раскладывали на произведение взаимно простых чисел. Напомним, что Взаимно простыми Числами называются числа, которые Не имеют общих делителей. Причем числа могут и не являться простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, т. к. не имеют общих множителей. Однако каждое из этих чисел 8 и 15 — составное.

Например, в пункте к число 18 было представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел 2 и 9. Затем использовались признаки делимости на эти числа. Если раскладывать число-делитель на произведение не взаимно простых чисел, то решение усложняется, и могут быть допущены Ошибки. Например, число 30 не делится на 20 без остатка. Но если представить число 20 в виде 2 • 10, то 30 делится и на 2 и на 10. Однако числа 2 и 10 — не взаимно простые.

Пример 2

Определите, является ли число 98 706 540 321 простым или составным?

Используя признаки делимости, сразу определяем, что данное число на 2,4, 5, 8, 10 не делится. Теперь разберемся, делится ли это число на 3 и на 9. Найдем сумму цифр этого числа: 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 5+4 + 0 + 3 + 2+1= 45. Так как число 45 делится на 3 и на 9, то данное число также делится на 3 и на 9. Так как данное число имеет делители (3 и 9), которые неравны ни единице, ни самому числу, то (по определению) оно является составным.

Нужно заметить, что далеко Не всегда Одно натуральное число Делится На другое Без остатка. Например, при делении числа 29 на 3 получаем в частном 9 и в остатке 2. Эту операцию можно записать в виде: 29 — 3-9 + 2 или Делимое (29) = Делитель (3) • Частное (9) + Остаток (2). При Этом Остаток Должен быть Натуральным числом Или Нулем И Меньше, чем делитель.

Пример 3

А) Число 29 можно также записать и в виде: 29 = 3 - 8 + 5. Но в этом

случае нельзя считать, что при делении числа 29 на число 3 получается

частное 8 и остаток 5, т. к. остаток не может быть больше или равным

делителю.

Б) Число 29 можно записать и в другом виде: 29 = 3 • 10 + (—1). Но и

в этом случае нельзя считать, что при делении числа 29 на число 3

получается частное 10 и остаток (— 1), т. к. остаток должен быть натуральным

числом.

Таким образом, в общем случае деление с остатком записывается в виде: П = P'K + R. Здесь натуральное число П Делимое, Натуральное число Р Делитель, Натуральное число К — частное, Неотрицательное целое число Г Остаток (0 < г < Р). Если Г = 0, то число П Нацело (без остатка) делится на число/? и л ~ р - к.

Такая форма записи деления числа с остатком позволяет решать различные задачи.

 

Пример 4

Число П Дает при делении на 13 остаток 5. Какой остаток при делении на 13 дает число вшестеро больше данного?

Если число П Дает при делении на 13 остаток 5, то его можно записать в виде: я = 13? + 5, где К — получающееся при этом частное. Тогда число вшестеро большее, т. е. 6л = 6-(13-&+5)=78-&+30. Выделим из числа 6/7 наибольшее натуральное число, которое без остатка делится на 13, т. е. представим число 6л в виде: 6я=(78А; + 26)+4=13-(6А: + 2)+4. Из этой записи видно, что число 6п При делении на 13 дает в частном число (вк + 2) и остаток 4.

Пример 5

Два числа при делении на 18 дают остаток 9. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 18.