Алгебра 11 класс

На сайте Сейчас71 гостейонлайн

Применение производной

Пусть функция применение производной определенная на промежутке применение производной и применение производной.

Функция называется Возрастающей в точкеприменение производной, если существует интервал применение производной, где применение производной, который содержится в промежутке применение производной и есть таким, что применение производной для всех x из интервала применение производной и применение производной для всех x из интервала применение производной.

Функция называется Нисходящей в точкеприменение производной, если существует интервал применение производной, который содержится в промежутке применение производной и есть таким, что применение производной для любого x из интервала применение производной и применение производной для любого x из интервала применение производной.

Определение точек екстремуму описан в разделе «Алгебра. 10 класс».

Если функция применение производной возрастающая (нисходящая) в каждой точке промежутка применение производной, то она возрастающая (нисходящая) на этом промежутке

Теорема 1. Если функция применение производной в каждой точке интервала применение производной имеет производную применение производнойприменение производной, то функция возрастает (спадает) на применение производной.

Обратите внимание:

1) Если функция f есть непрерывной в какому-то из концов интервала применение производной, то эту точку можно присоединить к интервалу роста (спадание).

2) Для решения задач удобно пользоваться таким утверждением: точки, в которых производная равняется 0 или не существует, разделяют область определения функции f на промежутки, в каждом из которых применение производной сохраняет неизменный знак

Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равняется нулю или не существует, называются Критической точкой функции.

Внутренняя точка области определения, в которой применение производной, называется Стационарной точкой функции.

Теорема 2. Если функция применение производной во внутренней точке области определения имеет екстремум, то в этой точке производная применение производной, если она существует, равняется нулю

Теорема 3. Если функция f есть непрерывной в точке применение производной, а применение производной на интервале применение производной и применение производной на интервале применение производной, то точка применение производной является точкой максимума функции

Теорема 4. Если функция f есть непрерывной в точке применение производной, а применение производной на интервале применение производной и применение производной на интервале применение производной, то точка применение производной является точкой минимума функции f.

Теорема 5. Пусть точка применение производной есть стационарной для функции применение производной и пусть в этой точке существует производная второго порядка применение производной. Тогда, если применение производной, то применение производной является точкой минимума и, если применение производной, то применение производной является точкой максимума функции применение производной.

Более всего и меньше всего значение функции на отрезку

Чтобы найти более всего (меньше всего) значение непрерывной функции на отрезку применение производной, треба найти все локальные максимумы (минимумы) и сравнить их со значениями функции, которых она приобретает на концах отрезка. Более всего (меньше всего) число среди образованного множества и буде наибольшим (наименьшим) значением функции, заданной на отрезку применение производной.