Цель: Обсудить формулу бинома Ньютона и ее применение.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 3,4, 8?

2. Из 24 участников собрания надо выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

3. Миша имеет восемь, а Витя - семь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться пятью конфетами?

Вариант 2

1. Сколько различных трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,4, 5?

2. Из 28 спортсменов надо выбрать капитана команды и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

3. Коля имеет девять, а Лёня - восемь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться шестью конфетами?

III. Изучение нового материала

Рассмотрим Возведение в степень П Двучлена (бинома) A + Ь И

Отметим определенные закономерности. Имеем: прии = 0(а + 6)°=1; при П = 1 + Ь)] = а + Ь\

При П = 2 (а + Bf = а2 + Lab + B2;

При П = 3 + Bf = а + Ъа2Ь + ЪаЬ2 + Ь3;

При П = 4 + Bf = а4 + 4а*Ь + 6а2Ь2 + АаЬг + B\


214

Глава 9. Элементы Математической Статистики


Прежде всего отметим, что при возведении бинома A + B В степень П Получаем Однородный многочлен Также степени П. Напомним, что однородным многочленом степени П По переменным А И B Называют многочлен, состоящий из одночленов той же степени П,

Т. е. из одночленов вида A"~KBk (где К = О, 1, 2, ..., П - 1, П). Например, при возведении во вторую степень + Ь)2 Получаем однородный многочлен также второй степени А2 + Lab + B2. При этом коэффициенты при одночленах тоже связаны определенными закономерностями.

Докажем, что выполняется формула (формула бинома Ньютона): (а + 6)" = С>" + СУ"7> + Су-У^

Где С* - число сочетаний из П Элементов по К, Т. е. С* =- '---- .

" К\(п-к)\

При возведении бинома А + B В Степень П Надо П Раз перемножить этот бином, т. е. + B)(A + B)...(A + Ь). Чтобы при раскрытии скобок получить одночлен вида А"~кЬк, нужно из П Множителей вида А + B Выбрать К Множителей (порядок неважен). Тогда получим множитель Ьк. Это можно сделать Ск Способами. При этом второй множитель А" К Получается автоматически. Итак, формула доказана.

Коэффициенты С* также называют Биномиальными. Они обладают рядом Свойств, Которые обсудим, рассмотрев Треугольник ПаскаЛя (составленную определенным образом таблицу).


1) В каждой строке находятся коэффициенты одночленов при возведении в степень П. Например, при П = 3 имеем коэффициенты 1, 3, 3, 1 одночленов в многочлене А3 +Ъа2Ь + ЪаЬ2 4-б\

2) Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Например, С\ =С?+С12 (или 3 = 1 + 2) и С] = С2+С2 (или 3=2+ 1). Эта закономерность указана линиями. Другими сло-

П-1 '

Вами, в общем виде выполняется равенство С* = С*_, + С(


Урок 61. Формула Бинома Ньютона

215


3) Коэффициенты в строке симметричны относительно середины. Например, при П = 3 получили симметричные коэффициенты 1, 3, 3, 1. Иначе, в общем случае справедливо равенство С* = С*-1.

4) Крайние коэффициенты в каждой строке равны 1, т. к. С° = 1 и

C; = i.

Пример 1

Возведем бином A + Ь В четвертую степень.

1) Учитывая формулу бинома Ньютона, выпишем структуру ответа: + Ь)4 = ...а4 + ...аъЪ + ...а2Ь2 + ...аЬъ + ..Ь4.

2) Используя треугольник Паскаля, вместо знаков... расставим соответствующие биномиальные коэффициенты и окончательно получим: (а + Ь)4 =а4 + 4а*Ь + 6а2Ь2 +АаЬъ +Ь4.

Аналогично поступают и в случае более громоздких биномов.

Пример 2

Возведем бином 2х - Ъу2 В куб.

Подобно предыдущему примеру, получим: (A-Vbf =а3 + Ъа2Ь + л-ЪаЬ2 + Ьъ. Учтем, что в нашем случае А — 2х И Ъ — —Ъу. Тогда имеем: (2х - Ъу2 У = (2х)3 + 3(2х)2 (-3/) + 3 • {2х)(-Ъу2 )2 + {-Ъу2 F = = 8х3 - Ъ6х2у2 + 54ху4 - 27/. Итак, получили: (2х - Ъу2 )3 = = 8х3 -Ъ6х2у2 + 54ху4 -27/.

Пример 3

Докажем, что сумма коэффициентов в каждой строке треугольника Паскаля равна 2". Другими словами, надо доказать, что справедливо равенство

Сп + С1 + ••• + ^Г' + С" = 2". Запишем формулу бинома Ньютона: (а + Ь)п =СУ+Cy-XB + ... + Cnn-XAb"-[+СппЬп. Теперь легко сообразить: чтобы в правой части этого равенства получилась сумма биномиальных коэффициентов, достаточно в равенство подставить значения А = 1 и Ъ = 1. Получаем: 2" =СЛ° +Cln +... + С;"1 + С,", что и требовалось доказать.

Пример 4

Найдем сумму S = пСп + (п-\)С\ + {п-2)С; -к..+ 2С;~2 + С;"1.

Используя формулу бинома Ньютона, получим равенство: (х+1)" = = C*X"+Clxn-} +CwV_2+... + C;"V +с;"'д: + С;. Найдем производ-


216

Глава 9. Элементы Математической Статистики


Ную от обеих частей этого равенства: П(х + \)" ] = Сппхп + + С^(/7-1)х""2+Сп2(п-2)хй"3+... + С;2-2х+СяяЧ. Теперь в это равенство подставим значение х = 1. Имеем: П-2"~х = С° -п + С\ -(л —1) + + С2 • (п-2) +... + С"~2 • 2 + Спп~х. Таким образом, искомая сумма

S = N-2N~]. Рассмотрим более сложные задачи. Пример 5

1 V"

Сумма биномиальных коэффициентов разложения 2ях + - ,

V 2пх )

Равна 64. Найти слагаемое, не содержащее х.

Прежде всего необходимо найти я. Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 64 = 26, то (с учетом примера 3) получаем равенство

23" = 26, откуда П = 2. Тогда имеем разложение 4х + —- . Член тако-

L 4x-J

( 1 V го разложения Т&\ С номером К + 1 равен ГАИ = С6* -(4л:)6 * • —:

V4x

= С* -46"* х6"* -4"* х"2* = С* -46"2* х6"3*. Так как этот член не дол-

Жен зависеть от х, то показатель степени при х равен нулю, т. е

6 - Зк = 0, откуда К = 2. Теперь найдем этот член: Т3 =С% -42 =

Т =С2

42 =-------- 42 =15*16 = 240. Итак, указанным свойством об-

2!-4! 1*2

Ладает третий член разложения, и он равен 240.

Пример 6

При каких значениях х четвертое слагаемое разложения (5 + 2х)16 больше двух соседних с ним слагаемых?

Член такого разложения Тк+\ С номером К + 1 имеет вид Тк+Х = С*6 *516~* -(2х)*. Запишем четвертый член = 3)

Г4 = С,36 -515 -(2х)3, третий член (к =2) Тъ = С,26 *514 *(2х)2 и пятый член (А - = 4) Т5 =С*ь-5] -(2х)4. По условию задачи Г4 > Т3 + Г5. Получаем неравенство: С,3Ь -513 *(2х)3 > С2Ь -5й *(2х)2 + С,46 -I5'2 *(2х)4 или

,6!.5^2V>-^.5".2V+-16!

3!13! 2!14! 4!12!

14!-4!

Ти этого неравенства на положительное выражение

16!-5,2.22-х2


Урок 62. Случайные События И Их Вероятности

217