Цель: обсудить основные свойства корней и их применение к решению задач.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите область определения функции:

А) F(X) = $5-4X-X2;

Б) F(X) = Jl + 2X-Zj4-X2.

2. Постройте график функции:

А) У = Цх + 3-2;

Б)у = ^4х-х2;


В) У-

X2-3Jc + 2 Jc-1


HI. Изучение нового материала

Для вычисления иррациональных выражений необходимо знать Свойства корней я-й степени И уметь ими пользоваться.

Теорема 1. Корень я-й степени (и = 2, 3, 4, ...) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней w-й степени из этих чисел, т. е. Л/Ab = Yfa Л/B.


Докажем это утверждение. Для удобства введем обозначения: >[Ab = х, \Fa —у И Щ> - Z. Надо доказать, что для неотрицательных чисел х, У, Z Выполнено равенство х = У • Z. При введенных обозначениях имеем: Ab = X",A - Y'\B~ Z'\ Тогда X" =Y"-Z" Или X" =(Y-Z)N, Откуда x = У - z. Это и требовалось доказать.

Пример 1

Вычислим: ^27-64 = ^27-^64 =3-4 = 12.

Разумеется, приведенную формулу можно применять слева направо и справа налево.

Пример 2

Вычислим: Vl^-Vi^ = V^-V^ = V33-4-3-43 =^34-44 =

= ^/(3-4)4 =3-4 = 12.

Теорема 2. Корень я-й степени из отношения неотрицательного числа А И положительного числа Ъ Равен отношению корней л-й сте-

[A Rfa

Пени из этих чисел, т. е. Л, - ,_.

Докажем такое утверждение. Пусть /— =х, Yja = у И ЦЬ = Z. Надо доказать, что для неотрицательных чисел Хну а Положитель-

У

Ного числа z выполнено равенство х = —. При введенных обозначени-

Z

А у"

Ях получаем: — = хп, а = у", B = Zn, Тогда Х" =—— Или х"='

B Zn

Откуда х = —. Таким образом, утверждение доказано.

Z

Пример 3

/27 ^27 3 , с Вычислим: 43|— = —;=- = — = 1,5.

V 8 ^8 2

Пример 4

^405 /405 /5-81 Щ Ijb\ 3 , г Найдем: —j=^ = я-— = 4 _—. = 4/— = ___ = _ = \ 5. </80 V 80 \5-16 V16 4/16 2

Пример 5

_19

Вычислим 5/7—.

Прежде всего обратим смешанное число 7— в неправильную

,, 19 7-32 + 19 224 + 19 243 т

дробь: 7— =---------- =---------- =----- . Теперь, используя теорему 2,

,„19 243 <J243 3 , С

Найдем: Я/= Я--- =—^=- = — =1,5.

Л' 32 V 32 ^32 2

Разумеется, теоремы 1 и 2 являются обобщениями аналогичных свойств квадратных корней (8 класс). Рассмотрим теперь Другие Свойства Радикалов.

Теорема 3. Чтобы возвести корень w-й степени из неотрицательного числа А В натуральную степень К, Надо в эту степень возвести подкоренное выражение, т. е. (Vfl)* = л/о7. Очевидно, что такое утверждение является следствием теоремы 1. Действительно, получаем:

Пример 6

Вычислим: (^2)6 = Lj¥ = ^(22)3 = = 4.

Теорема 4. Чтобы извлечь корень л-й степени из корня А>й степени из неотрицательного числа А, Надо извлечь корень степени Пк Из этого Числа, т. е. Yjyfa = 'у/а.

Докажем это утверждение. Обозначим У/уа = Х И "у/а = у. Надо доказать, что для неотрицательных чисел Х иу Выполнено равенство Х = у. Возведем в NСтепень Х И получим: Х" = У/а. Теперь такое равенство возведем в степень К. Имеем: (лги)* = А Или Хпк = А. Также возведем в степень Пк Величину У И получим: Упк = А. Очевидно, что

ХПк _ у\к ^ И тогда Х=у.

Утверждение доказано.

Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то ЗНаЧе-Ир /ь> Nl к

Ние корня не изменится, т. е. У а' = У A .

Обозначим Уа*** = х (тогда по определению корня выполнено равенство Х"р = А1*) и Yak = у (тогда имеем У" = Ак). Возведем в степень Р Обе части последнего равенства: У"р - а^. Сравнивая равенства Х"р =акр И У"*' =акр, Получаем Х*4* = упр, Откуда Х = у (что и требовалось доказать).

Пример 8

А) \fa16 = У]а4 (показатели корня и подкоренного выражения раз

делили на 4);

Б) \[а = \1 а2 (показатели корня и подкоренного выражения умно

жили на 2).

Пример 9

Упростим выражение * Уа • уа.

Каждый корень, входящий в выражение, представим в виде корня степени 12 (теорема 5) и учтем теорему 1. Получаем: \fa-ya-tfa =

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Сформулируйте (и докажите) теорему о корне из произведения чисел.

2. Сформулируйте (и докажите) теорему о корне из частного двух чисел.

3. Возведение корня из числа в натуральную степень.

4. Извлечение корня из корня числа.

V. Задание на уроках

§ 35, 1 (А, Г); 4 (А, Б); 9 (А, Г); 10 (Б); 12 (А, Б); 13 (Б); 14 (А, В); 15 (Б); 16 (А); 19 (Б, В); 20 (А, Б); 22 (В, Г); 24 (А, Г); 26 (Б); 28; 30 (А, В).

VI. Задание На Дом

§ 35, 1 (Б, В); 4 (В, Г); 9 (Б, В); 10 (Г); 12 (Б, Г); 13 (А); 14 (Б, Г); 15 (А); 16 (Б); 19 (А, Г); 20 (В, Г); 22 (А, Б); 24 (Б, В); 26 (А); 29; 30 (Б, Г).

VII. Подведение итогов уроков