Цель: Рассмотреть типичные задачи, связанные с определенным интегралом, и его понятие.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Типичные задачи

Задача 1, Площадь криволинейной трапеции.

В курсе геометрии были получены формулы для вычисления Площадей простейших фигур (треугольники и некоторые многоугольники) И объемов тел (призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары). В то же время круг таких задач намного разнообразнее, и необходимо рассмотреть общий подход к подобным задачам.

Сначала рассмотрим понятие криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а; Ь] Оси абсцисс задана непрерывная функция Fix\ Не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой Функции, отрезком [а; Ь\ И прямыми Х = А И Х = А, называют криВолинейной трапецией.

Было бы заманчиво научиться вычислять площади криволинейных трапеций в случае произвольных функций Дх).

Разобьем отрезок [а; Ь] На П Равных частей точками jcj, лг2» ..., Х„ \.

Построим прямоугольники со сторонами х*+1 — х* иДх*).

----------------------------------------- 1----------------- 1----- 1--------------- 1------ ►

А ~ х0 ХК хк T I B = хп


158

Глава 8. Первообразная И Интеграл


У=Дх)

Площадь такого прямоугольника равна У


F(Xk)-(Xk+] - хк) = F(Xk)-Axk (где Дх*- длина отрезка [хк; Хж], т. е.

&хк = JCjh-1 - Хь). Если такую процедуру проделать для всех значений jc (х = 0, 1, 2, ..., П - 1), то площадь криволинейной трапеции S Можно приближенно оценить площадью ступенчатой фигуры.

Ук

У-Fix)

S„=F(X0)-Axo+F(Xi)'Ax\+-"+F(XN-L)-AxN-\- При этом Ax0=Av


= A*„-I=-

(хотя такое условие необязательно).


Итак, S ~ Sn, И это приближенное равенство тем точнее, чем больше и, т. к. на маленьком по длине отрезке [хк; хк+\] Функция Дх) меняется очень незначительно. Будем считать, что площадь криволинейной трапеции S Равна пределу последовательности (5„),т. е. S = limS„.

Я-ЮО

Задача 2. Масса неоднородного стержня.

Дан прямолинейный неоднородный стержень, концы которого имеют координаты х = А И х = Ь. Плотность стержня в точке х может быть вычислена по формуле р = р(х). Найдем массу стержня.

Ч F 1


Уроки 46-47. Задачи, Приводящие К Понятию Определенного Интеграла 159

Из курса физики известно, что масса Л/и стержня длиной Ах с линейной плотностью р вычисляется по формуле Am = рДх. Для решения данной задачи используем алгоритм задачи 1.

1) Разобьем отрезок [а; Ь] На П Равных частей.

2) Рассмотрим частичный отрезок [хк; хк+\] И будем считать, что плотность во всех точках этого отрезка постоянна и равна р(х*).

3) Найдем приближенное значение массы этого отрезка Тк «р(хА)-ДхА.

4) Найдем приближенное значение массы Т Всего стержня Т ~ Sn, Где S„=/w0+w1+.„ + /wn4 =p(x0)Ax0+p(xI)Axl+... + p(xJt)Axft.

5) Точное значение массы стержня равно пределу последовательности (Sn), Т. е. Т - Lim Sn.

Задача 3. Перемещение точки.

По прямой движется точка, скорость которой в зависимости от времени вычисляется по формуле V = V(T). Найдем перемещение точки за промежуток времени [A; Ь].

Напомним, что при равномерном движении с постоянной скоростью V Перемещение S Вычисляется по формуле S = Vt. Для решения нашей задачи используем уже рассмотренные идеи.

1) Разделим промежуток времени [а; Ь] На П Равных частей.

2) Рассмотрим промежуток времени [Tk; /*+i] и будем считать, что за этот промежуток времени скорость тела была постоянной и равнялась V(Fk).

3) Найдем приближенное значение перемещения S* точки за промежуток времени \Tk\ 4+1]. Это значение равно Sk = V(tkAtk).

4) Найдем приближенное значение перемещения S ~ Sm Где Sn =S0+Sy +-+^-i = V(T0)At0 + V(OAty +...+г;(^1)А/я_1.

5) Перемещение равно пределу последовательности (Sn), Т. е. S = \\MSn.

Решение трех рассмотренных и (многих) других задач приводит к Одной и той же математической модели. Такая модель должна быть изучена и приспособлена к решению реальных задач. Пока эта модель достаточно сложна, что видно из следующего примера.

Пример 1

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, параболой У = х2 И прямой х = 1.







111 П п п