Целы Рассмотреть свойства дробно-линейной функции и построение ее графика.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).


2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

3

2. Постройте график функции У- — . Найдите:

Х

А) значение функции при jc ~ 2,5;

Б) значение аргумента, при которому = 5.

К

3. График функции У = — проходит через точку А (2,5; —1,6). Найдите

Величину К.

Вариант 2

1. Какая кривая называется гиперболой?

2

2. Постройте график функции У = —. Найдите:

Х

А) значение функции при Х = 0,8;

Б) значение аргумента, при котором У — 0,4.

3. График функции проходит через точку А (— 1,6; 5). Найдите величину К,

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Рассмотрим функцию более общую, чем обратная пропорциональность.

_ Ax + B. ,

Функция У =---------- (гдед:— независимая переменная; я, о, с, А — Некоторые

Cx + D Числа, причем с Ф 0 и Be — Ad Ф 0) называется Дробно-линейной функцией.

Обратите внимание, что данная функция представляет собой дробь,

Числитель и знаменатель Которой являются Линейными функциями.

Заметим, что требование в определении о том, что С Ф 0 и Be Ad Ф 0,

Существенно. Если это требование не выполняется, то дробно-линейная

Функция является на самом деле Линейной (свойства и график такой

Функции были изучены в 7 классе).

А) Пусть С = 0 (при этом D Ф 0). Подставив это значение в функцию

Ax + B Ax + B A B - - T - а - B V

У----------- ,получим У------------ = — Х+— = ах + Ь (гдечисла А = — И 0= — ).

Cx + D D D D D D

Очевидно, что функция У = Ax + B Линейная.

Ad

Б) Пусть Be Ad — 0 и с Ф 0. Выразим из этого равенства B = — и

Ad

, ах +

Подставим в формулу У =------------ . Получаем У =----------- — . Умножим

Cx + D Cx + D

( Ad^

Ах л-----

Числитель и знаменатель дроби на число С. Имеем: У=7---------------- т-

С(сх + D)

Acx+Ad A{Pc+D) а

=—7------- л = ~7------- л =~ — некоторое число.

С(сх+а) с\сх+а) с

В этом случае также получили частный случай линейной функции.




Пример 1

2х-4

Определить вид функции У------------ и построить ее график.

6-Зх

2х-4

Запишем данную функцию в виде У------------ . Сравнивая эту функцию

-Зхч-6

С дробно-линейной функцией У -^--------- , видим что A~2,B = —4, С ~ —3,

Cx + D D = 6. Легко проверить, что Be — Ad—(— 4)(—3) — 2*6= 12—12 = 0. Поэтому данная функция не является дробно-линейной. Разложим числитель и

2д:-4

6-Зх

Знаменатель дроби на множители и сократим ее. Имеем: У =

2(х-2) 2 =1?—9t = ~T (ПРИ этомх~2*0,т. е. х*2).

Поэтому данная функция является линейной. Построим график функции

У = -— (горизонтальная прямая) и исключим из него точку А С абсциссой Х = 2 (показана стрелками).

Пример 2

2х-4 Определить вид функции У = —-— и построить ее график.





Ах + Ь

Сравнивая эту функцию с дробно-линейной функцией У-

Cx+D'

Видим, что А = 2,Ь — —4, С = 0, D = 6. Поэтому данная функция не является дробно-линейной. Используя свойство сложения дробей, запишем

2х-4 4 1 2

Функцию в виде У =---------- =---------- = — Х —. Поэтому данная функция

6 6 6 3 3

1 2 является линейной. Построим график этой функции У = — х - — .

Можно показать, что графиком дробно-линейной функции У =-------- -

Cx + D

(при С * 0 и Be - Ad * 0) будет гипербола, сдвинутая вдоль оси абсцисс и оси ординат. Такой сдвиг является одним из способов построения графика этой


Функции (такой способ будет изучаться в 9 классе). Здесь мы рассмотрим другой способ построения. Для этого перечислим и обсудим Свойства Дробно-линейной функции.

1. Область определения Функции — Множество всех Значений Х, Кроме

Х = — (т. к. при таком значении знаменатель Сх + D = 0). С

2. Точка пересечения Графика функции С осью ординат У - — При D Ф 0,

D Такой точки Не существует при D~ 0. Для ее определения подставим значение л: = 0 в формулу, задающую функцию.

3. Точка пересечения Графика функции С осью абсцисс Х = — при А Ф 0

A И такой точки Не Существует При A = 0. Для ее определения положим У = 0

В формуле У =-------- и решим уравнение 0 =---------- или 0 = Ах + О.

Cx + D Cx + D

4. Вертикальная асимптота Графика функции имеет уравнение Х = —,

С Т. к. для такого значения Х Функция не определена и при приближении к этому значению \у\ Возрастает.

5. Горизонтальная асимптота Графика функции имеет уравнение У ~ — , т. к.

С При больших значениях |х| числитель Ах + B ~ ах И знаменатель Сх + D ~ сх И

Ax + B ах а

Функция У =-------- ~ — = —.

Cx + D сх с

6. Графиком Функции является Гипербола, ветви Которой Симметричны Относительно точки пересечения асимптот. Ветви Гиперболы Не пересекают Асимптоты Графика.

Видно, что свойства дробно-линейной функции обобщают свойства

К К

Обратной пропорциональности У = — . Это понятно, т. к. функция У = —

X X

Является частным случаем функции У------------ При А ~ 0, D = 0 и -к.

Cx + D с

Используя перечисленные свойства, легко построить эскиз графика дробно-линейной функции.

Пример 3

Построим график функции У =-------- .

-х + \ Сначала найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Так как любая точка на оси ординат имеет абсциссу Х = 0, то

20-3 -3 .

для этого значениях вычислим У =--------- = — = -3 —точку/i пересечения


Уроки 17-18. Дробно-Литейная Функция И Ее График

63


Графика с осью ординат. Любая точка на оси абсцисс имеет ординату У ~ 0.

2х-3

Поэтому в формуле функции положим У=0 и получим уравнение 0 =---- .

-х + \

Дробь равна нулю, если ее числитель — 3 = 0 (а знаменатель при этом не

3 равен нулю). Решив это уравнение, найдем Х = — = 1,5 — точку В Пересечения графика с осью абсцисс.

Найдем теперь уравнения асимптот. Вертикальную асимптоту определим из условия, что данная функция не определена, т. е. знаменатель —х + 1 равен нулю, откуда Х ~ 1. Горизонтальная асимптота находится из

Условия, что Ы велико. В этом случае для функции У =-------- в числителе

-JC+1

Пренебрежем числом —3 (т. е. 2х - 3 ~ 2х), в знаменателе пренебрежем