Цель: Рассмотреть некоторые приемы интегрирования функций.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите первообразную функции:

А) Дх) = Зе*+х4-- + 2;

Х

Б) F(X) - Sin2 Х - cos2 jc.

2. Найдите ту первообразную функцию X*) — 4д: + 7, график кото

рой касается оси абсцисс.

Вариант 2

1. Найдите первообразную функции:

А) F(X) = X5-2Ex+- + 5;

Х

Б) /(x) = sinjtcosx.

2. Найдите ту первообразную функцию Fix) = 6х - 4, график кото

рой касается оси абсцисс.




III. Изучение нового материала

Разумеется, первообразную можно найти только для тех функций, которые Приведены в таблице. Поэтому основной принцип интегрирования - приведение более сложных функций к тем, которые даны в таблице. Существуют следующие Методы интегрирования:

1. Метод непосредственного (табличного) интегрирования (был рассмотрен на предшествующих уроках).

2. Метод замены переменной интегрирования. Простейший случай линейной замены (нахождение первообразной функции J{Kx + /и)) был также рассмотрен на предыдущих занятиях.

3. Метод преобразования функции в сумме функций Будет рассмотрен на этом уроке.

4. Метод интегрирования по частям Достаточно сложен и будет изучаться в вузе.

Ранее отмечалось, что одна из сложностей при интегрировании состоит в отсутствии формул для первообразных произведения и частного функций. Поэтому необходимо произведение и частное функций представить в виде суммы функций (если это возможно). На примерах рассмотрим Самые типичные ситуации.

Пример 1

Найдем первообразную функции^х) = (Зх + 1)(2х - 3).

Умножим многочлены и запишем функцию в видеДх) = бх2 - 7х - 3.

Первообразную такой функции уже легко найти: F(X) = 6-----------------

Х2

-7--------- Зх + с = 2х3-3,5х2 -Зх + с.

2

Пример 2

Найдем первообразную функции F(X) =---------------------------- .

4х + 3

В данной функции выделим целую часть. Для этого столбиком раз

делим числитель на знаменатель и получим: F(X) = Ъ? -х+------------- . Най-

4х+3

Х3 х2 5

дем первообразную такой функции: F(X) = 2--------------- \— 1п|4х+3|+с =

= —х —х + — In 4x + 3 +c.