Прежде всего заметим, что изучение этого материала в средней школе Нецелесообразно и вредно (на наш взгляд) по следующим причинам:

1. Данный материал Значительно отличается По подходу, логике, методике от классического курса алгебры и математического анализа и Является искусственным включением В курс математики.

2. Эти разделы математики имеют Ограниченные области приМенения, И их Роль Слишком Преувеличена (скорее это дань очередной моде).

3. Изучение такого материала идет За счет других разделов матемаТики (например, на изучение этой темы отводится 11 часов, а на изучение значительно более важной темы «Первообразная и интеграл» - 9 часов, за которые научить интегрировать невозможно). При этом рассмотреть даже в общих чертах изучаемый материал также Невозможно.

4. Учащийся средней школы (с учетом падения уровня образования) Не понимает Этой темы. Многие разумные педагоги просто Не Изучают такие разделы (сэкономленное время тратится На более Подробное рассмотрение Других тем курса).

Цель: Рассмотреть основные понятия статистики.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

П. Изучение нового материала

Многие из нас участвуют в переписи населения, выборах, опросах и т. д. При этом появляется определенная информация. Задача статистики - Отражение Этой Информации И ее Обработка. Для этого необходимо ввести некоторые статистические Характеристики. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

В финал конкурса «Мисс факультета» вышли 10 студенток, за которых болели и голосовали 90 студентов. В таблице приведены результаты голосования за участниц с номерами 1-10. Прежде всего


192

Глава 9. Элементы Математической Статистики


Возникает вопрос о наглядном отражении результатов голосования. Из курса алгебры вы знаете, что графическая информация нагляднее табличной. Поэтому применяют три вида графического отражения информации - диаграммы.

№ участницы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число голосов

7

3

14

15

7

4

3

7

20

10


Первый вид диаграммы - Линейная диаграмма (или Многоугольник

Распределения) Строится как обычный график. По оси абсцисс откладываются номера участниц, по оси ординат - число голосов, отданных за данную участницу, т. е. точки (1; 7), (2; 3), (3;14) и т. д. Для наглядности отмеченные точки соединены отрезками.

Число

ГОЛОСОВ J I

20

15

10

12345678910 № участницы

Второй вид диаграммы - Столбчатая диаграмма (или ГистоГрамма распределения) Строится следующим образом. В окрестности каждой отмеченной точки по оси абсцисс строят прямоугольник, высота которого равна соответствующей ординате. При этом обычно ширину прямоугольников делают одинаковой. Достаточно часто прямоугольники изображаются таким образом, что два соседних имеют общую сторону. При этом прямоугольники могут штриховаться (см. учебник).


Третья диаграмма - Круговая (или Камамбер (по названию французского сыра)) - представляет собой круг, разделенный на 10 секторов с различными центральными углами. Так как всего было подано 90 голосов, то каждому голосу соответствует 360° : 90 = 4°. Далее легко пересчитать углы секторов. Например, для первой участницы строим сектор с углом 4° * 7 = 28°. Каждый сектор маркируется номером соответствующей участницы.





На практике применяют все три вида диаграмм. Итак, на конкретном примере были рассмотрены Основные этапы Простейшей СтаТистической обработки Данных:

1. Систематизация, упорядочивание и группировка.

2. Составление таблицы распределения данных.

3. Построение диаграммы распределения данных (любого вида).

4. Паспорт данных измерения (основные характеристики информации).

Обсудим некоторые Характеристики Рассматриваемого примера.

Объем измерения - количество источников информации (т. е. число опрошенных или число голосов). В данном случае 90.

Размах измерения - разница между наибольшим и наименьшим значениями результатов измерения. В данном случае 20-3 = 17, т. к. наибольшее число поданных голосов - 20, наименьшее - 3.

Мода измерения - наиболее часто встречающийся результат. В данном случае 9, т. к. за участницу № 9 было подано 20 голосов (наибольшее количество).

Среднее (или Среднее арифметическое) - частное от деления суммы всех результатов измерения на объем измерения. Обычно его вычисляют после составления таблицы распределения. В данном случае

1-7 + 2-3 + 3-14 + 4-15 + 5-7 + 6-4 + 7-3 + 8-7 + 9-20 + 10-10

получают: ------------------------

90

= 5,9.

7 + 6 + 42 + 60 + 35 + 24 + 21 + 56 + 180 + 100 531

90 " 90

7 А. Н. Рурукинидр., 11кл.


194

Глава 9. Элементы Математической Статистики


Обычно результатами измерений являются некоторые числа. Каждое число, встретившееся в конкретном измерении, называют Вариантой измерения. В конкретном измерении его варианты могут быть никак не связаны (например, билетики с результатами голосования). Однако обычно результаты обрабатываются. Если записать все варианты измерения в некотором порядке (например, по времени поступления голосов в жюри), то получится Ряд данных Измерения. Обычно упорядочивание происходит определенным образом. Запишем полученные варианты в порядке их возрастания (точнее, неубывания). Получим Сгруппированный ряд данных: 1,1,..., 1; 2,2,...,2;

10,10,...,10.

10

Среднюю варианту в аруппированном ряде данных в случае нечетного количества чисел или среднее арифметическое двух стоящих посередине вариант в случае четного количества чисел называют Медианой измерения. В нашем случае средних вариант две, это варианты № 45 и 46. Каждая из них равна 5, значит, и медиана равна

^ = 5.

2

В нашем примере ответ 1 встретился 7 раз (за участницу 1 проголосовали 7 человек). Поэтому говорят, что Абсолютная частота (или Кратность) Варианты 1 равна семи. Поэтому (в другой терминологии) ранее приведенная таблица имеет вид:

Варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Сумма

Кратность

7

3

14

15

7

4

3

7

20

10

90

Таким образом, получаем Таблицу распределения Данных измерения. Графа «Сумма» добавляется для контроля: число в этой графе обязательно равняется объему измерения.

Заметим, что при вычислении среднего арифметического в неявном виде уже использовалось понятие кратности варианты.

Введем еще понятие Частоты Данной Варианты - частное от деления кратности варианты на объем измерения. Например, для вари-

7 анты 1 находим частоту —» 0,078. Частоту варианты можно выра-

7 70

Зить В процентах. Тогда получим:--------- 100 - — * 7,8 %.


Рассмотренные параметры: среднее арифметическое, мода и медиана - характеризуют некоторую варианту. Их называют мерами центральной тенденции (или статистическими характеристиками среднего). Разумеется, все эти характеристики важны.

Пример 2